Problemas com maximos e minimos

[Davysson Silva]

Não consigo responder essa simples questão de calculo diferencial(não sei se o nome é o mesmo ai em portugal):

Determine dois números positivos cuja soma seja 4 e tal que a soma do cubo do menor com o quadrado do maior seja maximo.

alguém poderia me ajudar?

[Claudio Novais]

Isso é já uma área que pouco me lembro, mas temos o seguinte:

x + y = 4 /\ x<y /\ max(x³ + y²)

Assim:

y = 4 - x

e, por isso,

max(x³ + (4-x)²)

Para se saber os pontos de cela, faz-se a derivada e iguala-se a zero e determina-se os zeros:

3x²+2x-8=0

zeros: x=-2 /\ x=4/3

Para ser um máximo deriva-se novamente e vê-se se os valores nos zeros são negativos:

6x+2

Nos zeros: dx/dx² (-2)= -14 NEGATIVO
dx/dx² (4/3) POSITIVO

Logo temos um máximo em x=-2 que significa que:

y= 4 - (-2) = 6

Logo, os valores pedidos são -2 e 6.

Não sei se a resposta está certa, mas acho que a solução deve ser algo deste género

[Ricardo Fonseca]

Sim Claudio, essa também foi a primeira solução que encontrei e que confirmei numa ferramenta matemática, no entanto ambos os valores têm de ser positivos e visto que nada mais é dito estou a assumir que são soluções Reais.

[Davysson Silva]

Obrigado Claudio, estava com um pouco de dificuldade para entender maximos e minimos mais agora entendi tudo.

[Luis Cardoso]

Isso é já uma área que pouco me lembro, mas temos o seguinte:

x + y = 4 /\ x<y /\ max(x³ + y²)

Assim:

y = 4 - x

e, por isso,

max(x³ + (4-x)²)

Para se saber os pontos de cela, faz-se a derivada e iguala-se a zero e determina-se os zeros:

3x²+2x-8=0

zeros: x=-2 /\ x=4/3

Para ser um máximo deriva-se novamente e vê-se se os valores nos zeros são negativos:

6x+2

Nos zeros: dx/dx² (-2)= -14 NEGATIVO
dx/dx² (4/3) POSITIVO

Logo temos um máximo em x=-2 que significa que:

y= 4 - (-2) = 6

Logo, os valores pedidos são -2 e 6.

Não sei se a resposta está certa, mas acho que a solução deve ser algo deste género

Acho que te esqueceste de um pequeno pormenor, tanto x como y têm de ser maiores que zero. Tu deixaste os cálculos eu deixo a solução gráfica do problema:

clique na imagem para ver melhor

Legenda:
- f(x)=4-x
- g(x)=x³ + (4-x)²
- x<y
- max(x³ + (4-x)²) /\ x<y, qualquer que seja x,y pertencente a R⁺

Ou seja a solução poderá ser:
x=0 /\ y=4 /\ max(0³ + 4²)=16

[Ricardo Fonseca]